本题是拓扑排序的经典题目。

用本题的示例来模拟这一过程：

1、找到入度为0 的节点，加入结果集

​​

2、将该节点从图中移除

​​

1、找到入度为0 的节点，加入结果集

​​

这里大家会发现，节点1 和 节点2 入度都为0， 选哪个呢？

选哪个都行，所以这也是为什么拓扑排序的结果是不唯一的。

2、将该节点从图中移除

​​

1、找到入度为0 的节点，加入结果集

​​

节点2 和 节点3 入度都为0，选哪个都行，这里选节点2

2、将该节点从图中移除

​​

后面的过程一样的，节点3 和 节点4，入度都为0，选哪个都行。

最后结果集为： 0 1 2 3 4 。当然结果不唯一的。

如果有 有向环怎么办呢？例如这个图：

​​

这个图，我们只能将入度为0 的节点0 接入结果集。

之后，节点1、2、3、4 形成了环，找不到入度为0 的节点了，所以此时结果集里只有一个元素。

那么如果我们发现结果集元素个数 不等于 图中节点个数，我们就可以认定图中一定有 有向环！

这也是拓扑排序判断有向环的方法。

通过以上过程的模拟大家会发现这个拓扑排序好像不难，还有点简单。

理解思想后，确实不难，但代码写起来也不容易。

为了每次可以找到所有节点的入度信息，我们要在初始话的时候，就把每个节点的入度 和 每个节点的依赖关系做统计。

代码如下：

cin >> n >> m;
vector<int> inDegree(n, 0); // 记录每个文件的入度
vector<int> result; // 记录结果
unordered_map<int, vector<int>> umap; // 记录文件依赖关系

while (m--) {
// s->t，先有s才能有t
cin >> s >> t;
inDegree[t]++; // t的入度加一
umap[s].push_back(t); // 记录s指向哪些文件
}

找入度为0 的节点，我们需要用一个队列放存放。

因为每次寻找入度为0的节点，不一定只有一个节点，可能很多节点入度都为0，所以要将这些入度为0的节点放到队列里，依次去处理。

代码如下：

queue<int> que;
for (int i = 0; i < n; i++) {
// 入度为0的节点，可以作为开头，先加入队列
if (inDegree[i] == 0) que.push(i);
}

开始从队列里遍历入度为0 的节点，将其放入结果集。

while (que.size()) {
int  cur = que.front(); // 当前选中的节点
que.pop();
result.push_back(cur);
// 将该节点从图中移除 

}

这里面还有一个很重要的过程，如何把这个入度为0的节点从图中移除呢？

首先我们为什么要把节点从图中移除？

为的是将 该节点作为出发点所连接的边删掉。

删掉的目的是什么呢？

要把 该节点作为出发点所连接的节点的 入度 减一。

如果这里不理解，看上面的模拟过程第一步：

​​

这事节点1 和 节点2 的入度为 1。

将节点0删除后，图为这样：

​​

那么 节点0 作为出发点 所连接的节点的入度 就都做了 减一 的操作。

此时 节点1 和 节点 2 的入度都为0， 这样才能作为下一轮选取的节点。

所以，我们在代码实现的过程中，本质是要将 该节点作为出发点所连接的节点的 入度 减一 就可以了，这样好能根据入度找下一个节点，不用真在图里把这个节点删掉。

该过程代码如下：

while (que.size()) {
int  cur = que.front(); // 当前选中的节点
que.pop();
result.push_back(cur);
// 将该节点从图中移除 
vector<int> files = umap[cur]; //获取cur指向的节点
if (files.size()) { // 如果cur有指向的节点
for (int i = 0; i < files.size(); i++) { // 遍历cur指向的节点
inDegree[files[i]] --; // cur指向的节点入度都做减一操作
// 如果指向的节点减一之后，入度为0，说明是我们要选取的下一个节点，放入队列。
if(inDegree[files[i]] == 0) que.push(files[i]); 
}
}

}

最后代码如下：

#include <iostream>
#include <vector>
#include <queue>
#include <unordered_map>
using namespace std;
int main() {
int m, n, s, t;
cin >> n >> m;
vector<int> inDegree(n, 0); // 记录每个文件的入度

unordered_map<int, vector<int>> umap;// 记录文件依赖关系
vector<int> result; // 记录结果

while (m--) {
// s->t，先有s才能有t
cin >> s >> t;
inDegree[t]++; // t的入度加一
umap[s].push_back(t); // 记录s指向哪些文件
}
queue<int> que;
for (int i = 0; i < n; i++) {
// 入度为0的文件，可以作为开头，先加入队列
if (inDegree[i] == 0) que.push(i);
//cout << inDegree[i] << endl;
}
// int count = 0;
while (que.size()) {
int  cur = que.front(); // 当前选中的文件
que.pop();
//count++;
result.push_back(cur);
vector<int> files = umap[cur]; //获取该文件指向的文件
if (files.size()) { // cur有后续文件
for (int i = 0; i < files.size(); i++) {
inDegree[files[i]] --; // cur的指向的文件入度-1
if(inDegree[files[i]] == 0) que.push(files[i]);
}
}
}
if (result.size() == n) {
for (int i = 0; i < n - 1; i++) cout << result[i] << " ";
cout << result[n - 1];
} else cout << -1 << endl;


}

0、初始化

minDist数组数值初始化为int最大值。

这里在强点一下 minDist数组的含义：记录所有节点到源点的最短路径，那么初始化的时候就应该初始为最大值，这样才能在后续出现最短路径的时候及时更新。

​​

（图中，max 表示默认值，节点0 不做处理，统一从下标1 开始计算，这样下标和节点数值统一， 方便大家理解，避免搞混）

源点（节点1） 到自己的距离为0，所以 minDist[1] = 0

此时所有节点都没有被访问过，所以 visited数组都为0

以下为dijkstra 三部曲

1、选源点到哪个节点近且该节点未被访问过

源点距离源点最近，距离为0，且未被访问。

2、该最近节点被标记访问过

标记源点访问过

3、更新非访问节点到源点的距离（即更新minDist数组） ，如图：

​​

更新 minDist数组，即：源点（节点1） 到 节点2 和 节点3的距离。

• 源点到节点2的最短距离为1，小于原minDist[2]的数值max，更新minDist[2] = 1
• 源点到节点3的最短距离为4，小于原minDist[3]的数值max，更新minDist[4] = 4

可能有录友问：为啥和 minDist[2] 比较？

再强调一下 minDist[2] 的含义，它表示源点到节点2的最短距离，那么目前我们得到了 源点到节点2的最短距离为1，小于默认值max，所以更新。 minDist[3]的更新同理

1、选源点到哪个节点近且该节点未被访问过

未访问过的节点中，源点到节点2距离最近，选节点2

2、该最近节点被标记访问过

节点2被标记访问过

3、更新非访问节点到源点的距离（即更新minDist数组） ，如图：

​​

更新 minDist数组，即：源点（节点1） 到 节点6 、 节点3 和 节点4的距离。

为什么更新这些节点呢？ 怎么不更新其他节点呢？

因为 源点（节点1）通过 已经计算过的节点（节点2） 可以链接到的节点 有 节点3，节点4和节点6.

更新 minDist数组：

• 源点到节点6的最短距离为5，小于原minDist[6]的数值max，更新minDist[6] = 5
• 源点到节点3的最短距离为3，小于原minDist[3]的数值4，更新minDist[3] = 3
• 源点到节点4的最短距离为6，小于原minDist[4]的数值max，更新minDist[4] = 6

1、选源点到哪个节点近且该节点未被访问过

未访问过的节点中，源点距离哪些节点最近，怎么算的？

其实就是看 minDist数组里的数值，minDist 记录了 源点到所有节点的最近距离，结合visited数组筛选出未访问的节点就好。

从 上面的图，或者 从minDist数组中，我们都能看出 未访问过的节点中，源点（节点1）到节点3距离最近。

2、该最近节点被标记访问过

节点3被标记访问过

3、更新非访问节点到源点的距离（即更新minDist数组） ，如图：

​​

由于节点3的加入，那么源点可以有新的路径链接到节点4 所以更新minDist数组：

更新 minDist数组：

• 源点到节点4的最短距离为5，小于原minDist[4]的数值6，更新minDist[4] = 5

1、选源点到哪个节点近且该节点未被访问过

距离源点最近且没有被访问过的节点，有节点4 和 节点6，距离源点距离都是 5 （minDist[4] = 5，minDist[6] = 5） ，选哪个节点都可以。

2、该最近节点被标记访问过

节点4被标记访问过

3、更新非访问节点到源点的距离（即更新minDist数组） ，如图：

​​

由于节点4的加入，那么源点可以链接到节点5 所以更新minDist数组：

• 源点到节点5的最短距离为8，小于原minDist[5]的数值max，更新minDist[5] = 8

1、选源点到哪个节点近且该节点未被访问过

距离源点最近且没有被访问过的节点，是节点6，距离源点距离是 5 （minDist[6] = 5）

2、该最近节点被标记访问过

节点6 被标记访问过

3、更新非访问节点到源点的距离（即更新minDist数组） ，如图：

​​

由于节点6的加入，那么源点可以链接到节点7 所以 更新minDist数组：

• 源点到节点7的最短距离为14，小于原minDist[7]的数值max，更新minDist[7] = 14

1、选源点到哪个节点近且该节点未被访问过

距离源点最近且没有被访问过的节点，是节点5，距离源点距离是 8 （minDist[5] = 8）

2、该最近节点被标记访问过

节点5 被标记访问过

3、更新非访问节点到源点的距离（即更新minDist数组） ，如图：

​​

由于节点5的加入，那么源点有新的路径可以链接到节点7 所以 更新minDist数组：

• 源点到节点7的最短距离为12，小于原minDist[7]的数值14，更新minDist[7] = 12

1、选源点到哪个节点近且该节点未被访问过

距离源点最近且没有被访问过的节点，是节点7（终点），距离源点距离是 12 （minDist[7] = 12）

2、该最近节点被标记访问过

节点7 被标记访问过

3、更新非访问节点到源点的距离（即更新minDist数组） ，如图：

​​

节点7加入，但节点7到节点7的距离为0，所以 不用更新minDist数组

最后我们要求起点（节点1） 到终点 （节点7）的距离。

再来回顾一下minDist数组的含义：记录 每一个节点距离源点的最小距离。

那么起到（节点1）到终点（节点7）的最短距离就是 minDist[7] ，按上面举例讲解来说，minDist[7] = 12，节点1 到节点7的最短路径为 12。

路径如图：

​​

在上面的讲解中，每一步 我都是按照 dijkstra 三部曲来讲解的，理解了这三部曲，代码也就好懂的。

本题代码如下，里面的 三部曲 我都做了注释，大家按照我上面的讲解 来看如下代码：

#include <iostream>
#include <vector>
#include <climits>
using namespace std;
int main() {
int n, m, p1, p2, val;
cin >> n >> m;

vector<vector<int>> grid(n + 1, vector<int>(n + 1, INT_MAX));
for(int i = 0; i < m; i++){
cin >> p1 >> p2 >> val;
grid[p1][p2] = val;
}

int start = 1;
int end = n;

// 存储从源点到每个节点的最短距离
std::vector<int> minDist(n + 1, INT_MAX);

// 记录顶点是否被访问过
std::vector<bool> visited(n + 1, false);

minDist[start] = 0;  // 起始点到自身的距离为0

for (int i = 1; i <= n; i++) { // 遍历所有节点

int minVal = INT_MAX;
int cur = 1;

// 1、选距离源点最近且未访问过的节点
for (int v = 1; v <= n; ++v) {
if (!visited[v] && minDist[v] < minVal) {
minVal = minDist[v];
cur = v;
}
}

visited[cur] = true;  // 2、标记该节点已被访问

// 3、第三步，更新非访问节点到源点的距离（即更新minDist数组）
for (int v = 1; v <= n; v++) {
if (!visited[v] && grid[cur][v] != INT_MAX && minDist[cur] + grid[cur][v] < minDist[v]) {
minDist[v] = minDist[cur] + grid[cur][v];
}
}

}

if (minDist[end] == INT_MAX) cout << -1 << endl; // 不能到达终点
else cout << minDist[end] << endl; // 到达终点最短路径

}

• 时间复杂度：O(n^2)
• 空间复杂度：O(n^2)

写这种题目难免会有各种各样的问题，我们如何发现自己的代码是否有问题呢？

最好的方式就是打日志，本题的话，就是将 minDist 数组打印出来，就可以很明显发现 哪里出问题了。

每次选择节点后，minDist数组的变化是否符合预期 ，是否和我上面讲的逻辑是对应的。

例如本题，如果想debug的话，打印日志可以这样写：

#include <iostream>
#include <vector>
#include <climits>
using namespace std;
int main() {
int n, m, p1, p2, val;
cin >> n >> m;

vector<vector<int>> grid(n + 1, vector<int>(n + 1, INT_MAX));
for(int i = 0; i < m; i++){
cin >> p1 >> p2 >> val;
grid[p1][p2] = val;
}

int start = 1;
int end = n;

std::vector<int> minDist(n + 1, INT_MAX);

std::vector<bool> visited(n + 1, false);

minDist[start] = 0;
for (int i = 1; i <= n; i++) {

int minVal = INT_MAX;
int cur = 1;


for (int v = 1; v <= n; ++v) {
if (!visited[v] && minDist[v] < minVal) {
minVal = minDist[v];
cur = v;
}
}

visited[cur] = true;

for (int v = 1; v <= n; v++) {
if (!visited[v] && grid[cur][v] != INT_MAX && minDist[cur] + grid[cur][v] < minDist[v]) {
minDist[v] = minDist[cur] + grid[cur][v];
}
}

// 打印日志：
cout << "select:" << cur << endl;
for (int v = 1; v <= n; v++) cout <<  v << ":" << minDist[v] << " ";
cout << endl << endl;;

}
if (minDist[end] == INT_MAX) cout << -1 << endl;
else cout << minDist[end] << endl;

}

打印后的结果：

select:1
1:0 2:1 3:4 4:2147483647 5:2147483647 6:2147483647 7:2147483647

select:2
1:0 2:1 3:3 4:6 5:2147483647 6:5 7:2147483647

select:3
1:0 2:1 3:3 4:5 5:2147483647 6:5 7:2147483647

select:4
1:0 2:1 3:3 4:5 5:8 6:5 7:2147483647

select:6
1:0 2:1 3:3 4:5 5:8 6:5 7:14

select:5
1:0 2:1 3:3 4:5 5:8 6:5 7:12

select:7
1:0 2:1 3:3 4:5 5:8 6:5 7:12

打印日志可以和上面我讲解的过程进行对比，每一步的结果是完全对应的。

所以如果大家如果代码有问题，打日志来debug是最好的方法

如果题目要求把最短路的路径打印出来，应该怎么办呢？

如果图中边的权值为负数，dijkstra 还合适吗？

看一下这个图： （有负权值）

​​

节点1 到 节点5 的最短路径 应该是 节点1 -> 节点2 -> 节点3 -> 节点4 -> 节点5

那我们来看dijkstra 求解的路径是什么样的，继续dijkstra 三部曲来模拟 ：（dijkstra模拟过程上面已经详细讲过，以下只模拟重要过程，例如如何初始化就省略讲解了）

初始化：

​​

1、选源点到哪个节点近且该节点未被访问过

源点距离源点最近，距离为0，且未被访问。

2、该最近节点被标记访问过

标记源点访问过

3、更新非访问节点到源点的距离（即更新minDist数组） ，如图：

​​

更新 minDist数组，即：源点（节点1） 到 节点2 和 节点3的距离。

• 源点到节点2的最短距离为100，小于原minDist[2]的数值max，更新minDist[2] = 100
• 源点到节点3的最短距离为1，小于原minDist[3]的数值max，更新minDist[4] = 1

1、选源点到哪个节点近且该节点未被访问过

源点距离节点3最近，距离为1，且未被访问。

2、该最近节点被标记访问过

标记节点3访问过

3、更新非访问节点到源点的距离（即更新minDist数组） ，如图：

​​

由于节点3的加入，那么源点可以有新的路径链接到节点4 所以更新minDist数组：

• 源点到节点4的最短距离为2，小于原minDist[4]的数值max，更新minDist[4] = 2

1、选源点到哪个节点近且该节点未被访问过

源点距离节点4最近，距离为2，且未被访问。

2、该最近节点被标记访问过

标记节点4访问过

3、更新非访问节点到源点的距离（即更新minDist数组） ，如图：

​​

由于节点4的加入，那么源点可以有新的路径链接到节点5 所以更新minDist数组：

• 源点到节点5的最短距离为3，小于原minDist[5]的数值max，更新minDist[5] = 5

1、选源点到哪个节点近且该节点未被访问过

源点距离节点5最近，距离为3，且未被访问。

2、该最近节点被标记访问过

标记节点5访问过

3、更新非访问节点到源点的距离（即更新minDist数组） ，如图：

​​

节点5的加入，而节点5 没有链接其他节点， 所以不用更新minDist数组，仅标记节点5被访问过了

1、选源点到哪个节点近且该节点未被访问过

源点距离节点2最近，距离为100，且未被访问。

2、该最近节点被标记访问过

标记节点2访问过

3、更新非访问节点到源点的距离（即更新minDist数组） ，如图：

​​

至此dijkstra的模拟过程就结束了，根据最后的minDist数组，我们求 节点1 到 节点5 的最短路径的权值总和为 3，路径： 节点1 -> 节点3 -> 节点4 -> 节点5

通过以上的过程模拟，我们可以发现 之所以 没有走有负权值的最短路径 是因为 在 访问 节点 2 的时候，节点 3 已经访问过了，就不会再更新了。

那有录友可能会想： 我可以改代码逻辑啊，访问过的节点，也让它继续访问不就好了？

那么访问过的节点还能继续访问会不会有死循环的出现呢？控制逻辑不让其死循环？那特殊情况自己能都想清楚吗？（可以试试，实践出真知）

对于负权值的出现，大家可以针对某一个场景 不断去修改 dijkstra 的代码，但最终会发现只是 拆了东墙补西墙，对dijkstra的补充逻辑只能满足某特定场景最短路求解。

本篇我们来讲解 堆优化版dijkstra，看本篇之前，一定要先看 我讲解的 朴素版dijkstra，否则本篇会有部分内容看不懂。

在上一篇中，我们讲解了朴素版的dijkstra，该解法的时间复杂度为 O(n^2)，可以看出时间复杂度 只和 n （节点数量）有关系。

如果n很大的话，我们可以换一个角度来优先性能。

首先是 图的存储。

关于图的存储 主流有两种方式： 邻接矩阵和邻接表

邻接矩阵 使用 二维数组来表示图结构。 邻接矩阵是从节点的角度来表示图，有多少节点就申请多大的二维数组。

例如： grid[2][5] = 6，表示 节点 2 链接 节点5 为有向图，节点2 指向 节点5，边的权值为6 （套在题意里，可能是距离为6 或者 消耗为6 等等）

如果想表示无向图，即：grid[2][5] = 6，grid[5][2] = 6，表示节点2 与 节点5 相互连通，权值为6。

如图：

​​

在一个 n （节点数）为8 的图中，就需要申请 8 * 8 这么大的空间，有一条双向边，即：grid[2][5] = 6，grid[5][2] = 6

这种表达方式（邻接矩阵） 在 边少，节点多的情况下，会导致申请过大的二维数组，造成空间浪费。

而且在寻找节点链接情况的时候，需要遍历整个矩阵，即 n * n 的时间复杂度，同样造成时间浪费。

邻接矩阵的优点：

• 表达方式简单，易于理解
• 检查任意两个顶点间是否存在边的操作非常快
• 适合稠密图，在边数接近顶点数平方的图中，邻接矩阵是一种空间效率较高的表示方法。

缺点：

• 遇到稀疏图，会导致申请过大的二维数组造成空间浪费 且遍历 边 的时候需要遍历整个n * n矩阵，造成时间浪费

邻接表 使用 数组 + 链表的方式来表示。 邻接表是从边的数量来表示图，有多少边 才会申请对应大小的链表。

邻接表的构造如图：

​​

这里表达的图是：

• 节点1 指向 节点3 和 节点5
• 节点2 指向 节点4、节点3、节点5
• 节点3 指向 节点4，节点4指向节点1。

有多少边 邻接表才会申请多少个对应的链表节点。

从图中可以直观看出 使用 数组 + 链表 来表达 边的链接情况 。

邻接表的优点：

• 对于稀疏图的存储，只需要存储边，空间利用率高
• 遍历节点链接情况相对容易

缺点：

• 检查任意两个节点间是否存在边，效率相对低，需要 O(V)时间，V表示某节点链接其他节点的数量。
• 实现相对复杂，不易理解

接下来我们继续按照稀疏图的角度来分析本题。

在第一个版本的实现思路中，我们提到了三部曲：

1. 第一步，选源点到哪个节点近且该节点未被访问过
2. 第二步，该最近节点被标记访问过
3. 第三步，更新非访问节点到源点的距离（即更新minDist数组）

在第一个版本的代码中，这三部曲是套在一个 for 循环里，为什么？

因为我们是从节点的角度来解决问题。

三部曲中第一步（选源点到哪个节点近且该节点未被访问过），这个操作本身需要for循环遍历 minDist 来寻找最近的节点。

同时我们需要 遍历所有 未访问过的节点，所以 我们从 节点角度出发，代码会有两层for循环，代码是这样的： （注意代码中的注释，标记两层for循环的用处）

for (int i = 1; i <= n; i++) { // 遍历所有节点，第一层for循环 

int minVal = INT_MAX;
int cur = 1;

// 1、选距离源点最近且未访问过的节点 ， 第二层for循环
for (int v = 1; v <= n; ++v) {
if (!visited[v] && minDist[v] < minVal) {
minVal = minDist[v];
cur = v;
}
}

visited[cur] = true;  // 2、标记该节点已被访问

// 3、第三步，更新非访问节点到源点的距离（即更新minDist数组）
for (int v = 1; v <= n; v++) {
if (!visited[v] && grid[cur][v] != INT_MAX && minDist[cur] + grid[cur][v] < minDist[v]) {
minDist[v] = minDist[cur] + grid[cur][v];
}
}

}

那么当从 边 的角度出发， 在处理 三部曲里的第一步（选源点到哪个节点近且该节点未被访问过）的时候 ，我们可以不用去遍历所有节点了。

而且 直接把 边（带权值）加入到 小顶堆（利用堆来自动排序），那么每次我们从 堆顶里 取出 边 自然就是 距离源点最近的节点所在的边。

这样我们就不需要两层for循环来寻找最近的节点了。

了解了大体思路，我们再来看代码实现。

首先是 如何使用 邻接表来表述图结构，这是摆在很多录友面前的第一个难题。

邻接表用 数组+链表 来表示，代码如下：（C++中 vector 为数组，list 为链表， 定义了 n+1 这么大的数组空间）

vector<list<int>> grid(n + 1);

不少录友，不知道 如何定义的数据结构，怎么表示邻接表的，我来给大家画一个图：

​​

图中邻接表表示：

• 节点1 指向 节点3 和 节点5
• 节点2 指向 节点4、节点3、节点5
• 节点3 指向 节点4
• 节点4 指向 节点1

大家发现图中的边没有权值，而本题中 我们的边是有权值的，权值怎么表示？在哪里表示？

所以 在vector<list<int>> grid(n + 1);​ 中 就不能使用int了，而是需要一个键值对 来存两个数字，一个数表示节点，一个数表示 指向该节点的这条边的权值。

那么 代码可以改成这样： （pair 为键值对，可以存放两个int）

vector<list<pair<int,int>>> grid(n + 1);

举例来给大家展示 该代码表达的数据 如下：

​​

• 节点1 指向 节点3 权值为 1
• 节点1 指向 节点5 权值为 2
• 节点2 指向 节点4 权值为 7
• 节点2 指向 节点3 权值为 6
• 节点2 指向 节点5 权值为 3
• 节点3 指向 节点4 权值为 3
• 节点5 指向 节点1 权值为 10

这样 我们就把图中权值表示出来了。

但是在代码中 使用 pair<int, int>​ 很容易让我们搞混了，第一个int 表示什么，第二个int表示什么，导致代码可读性很差，或者说别人看你的代码看不懂。

那么 可以 定一个类 来取代 pair<int, int>​

类（或者说是结构体）定义如下：

struct Edge {
int to;  // 邻接顶点
int val; // 边的权重

Edge(int t, int w): to(t), val(w) {}  // 构造函数
};

这个类里有两个成员变量，有对应的命名，这样不容易搞混 两个int的含义。

所以 本题中邻接表的定义如下：

struct Edge {
int to;  // 链接的节点
int val; // 边的权重

Edge(int t, int w): to(t), val(w) {}  // 构造函数
};

vector<list<Edge>> grid(n + 1); // 邻接表

（我们在下面的讲解中会直接使用这个邻接表的代码表示方式）

其实思路依然是 dijkstra 三部曲：

1. 第一步，选源点到哪个节点近且该节点未被访问过
2. 第二步，该最近节点被标记访问过
3. 第三步，更新非访问节点到源点的距离（即更新minDist数组）

只不过之前是 通过遍历节点来遍历边，通过两层for循环来寻找距离源点最近节点。 这次我们直接遍历边，且通过堆来对边进行排序，达到直接选择距离源点最近节点。

先来看一下针对这三部曲，如果用 堆来优化。

那么三部曲中的第一步（选源点到哪个节点近且该节点未被访问过），我们如何选？

我们要选择距离源点近的节点（即：该边的权值最小），所以 我们需要一个 小顶堆 来帮我们对边的权值排序，每次从小顶堆堆顶 取边就是权值最小的边。

C++定义小顶堆，可以用优先级队列实现，代码如下：

// 小顶堆
class mycomparison {
public:
bool operator()(const pair<int, int>& lhs, const pair<int, int>& rhs) {
return lhs.second > rhs.second;
}
};
// 优先队列中存放 pair<节点编号，源点到该节点的权值> 
priority_queue<pair<int, int>, vector<pair<int, int>>, mycomparison> pq;

（pair<int, int>​中 第二个int 为什么要存 源点到该节点的权值，因为 这个小顶堆需要按照权值来排序）

有了小顶堆自动对边的权值排序，那我们只需要直接从 堆里取堆顶元素（小顶堆中，最小的权值在上面），就可以取到离源点最近的节点了 （未访问过的节点，不会加到堆里进行排序）

所以三部曲中的第一步，我们不用 for循环去遍历，直接取堆顶元素：

// pair<节点编号，源点到该节点的权值>
pair<int, int> cur = pq.top(); pq.pop();

第二步（该最近节点被标记访问过） 这个就是将 节点做访问标记，和 朴素dijkstra 一样 ，代码如下：

// 2. 第二步，该最近节点被标记访问过
visited[cur.first] = true;

（cur.first​ 是指取 pair<int, int>​ 里的第一个int，即节点编号 ）

第三步（更新非访问节点到源点的距离），这里的思路 也是 和朴素dijkstra一样的。

但很多录友对这里是最懵的，主要是因为两点：

• 没有理解透彻 dijkstra 的思路
• 没有理解 邻接表的表达方式

我们来回顾一下 朴素dijkstra 在这一步的代码和思路（如果没看过我讲解的朴素版dijkstra，这里会看不懂）

// 3、第三步，更新非访问节点到源点的距离（即更新minDist数组）
for (int v = 1; v <= n; v++) {
if (!visited[v] && grid[cur][v] != INT_MAX && minDist[cur] + grid[cur][v] < minDist[v]) {
minDist[v] = minDist[cur] + grid[cur][v];
}
}

其中 for循环是用来做什么的？ 是为了 找到 节点cur 链接指向了哪些节点，因为使用邻接矩阵的表达方式 所以把所有节点遍历一遍。

而在邻接表中，我们可以以相对高效的方式知道一个节点链接指向哪些节点。

再回顾一下邻接表的构造（数组 + 链表）：

​​

假如 加入的cur 是节点 2， 那么 grid[2] 表示的就是图中第二行链表。 （grid数组的构造我们在 上面 「图的存储」中讲过）

所以在邻接表中，我们要获取 节点cur 链接指向哪些节点，就是遍历 grid[cur节点编号] 这个链表。

这个遍历方式，C++代码如下：

for (Edge edge : grid[cur.first]) 

（如果不知道 Edge 是什么，看上面「图的存储」中邻接表的讲解）

​cur.first​ 就是cur节点编号， 参考上面pair的定义： pair<节点编号，源点到该节点的权值>

接下来就是更新 非访问节点到源点的距离，代码实现和 朴素dijkstra 是一样的，代码如下：

// 3. 第三步，更新非访问节点到源点的距离（即更新minDist数组）
for (Edge edge : grid[cur.first]) { // 遍历 cur指向的节点，cur指向的节点为 edge
// cur指向的节点edge.to，这条边的权值为 edge.val
if (!visited[edge.to] && minDist[cur.first] + edge.val < minDist[edge.to]) { // 更新minDist
minDist[edge.to] = minDist[cur.first] + edge.val;
pq.push(pair<int, int>(edge.to, minDist[edge.to]));
}
}

但为什么思路一样，有的录友能写出朴素dijkstra，但堆优化这里的逻辑就是写不出来呢？

主要就是因为对邻接表的表达方式不熟悉！

以上代码中，cur 链接指向的节点编号 为 edge.to， 这条边的权值为 edge.val ，如果对这里模糊的就再回顾一下 Edge的定义：

struct Edge {
int to;  // 邻接顶点
int val; // 边的权重

Edge(int t, int w): to(t), val(w) {}  // 构造函数
};

确定该节点没有被访问过，!visited[edge.to]​ ， 目前 源点到cur.first的最短距离（minDist） + cur.first 到 edge.to 的距离 （edge.val） 是否 小于 minDist已经记录的 源点到 edge.to 的距离 （minDist[edge.to]）

如果是的话，就开始更新操作。

即：

if (!visited[edge.to] && minDist[cur.first] + edge.val < minDist[edge.to]) { // 更新minDist
minDist[edge.to] = minDist[cur.first] + edge.val;
pq.push(pair<int, int>(edge.to, minDist[edge.to])); // 由于cur节点的加入，而新链接的边，加入到优先级队里中
}

同时，由于cur节点的加入，源点又有可以新链接到的边，将这些边加入到优先级队里中。

以上代码思路 和 朴素版dijkstra 是一样一样的，主要区别是两点：

• 邻接表的表示方式不同
• 使用优先级队列（小顶堆）来对新链接的边排序

堆优化dijkstra完整代码如下：

#include <iostream>
#include <vector>
#include <list>
#include <queue>
#include <climits>
using namespace std; 
// 小顶堆
class mycomparison {
public:
bool operator()(const pair<int, int>& lhs, const pair<int, int>& rhs) {
return lhs.second > rhs.second;
}
};
// 定义一个结构体来表示带权重的边
struct Edge {
int to;  // 邻接顶点
int val; // 边的权重

Edge(int t, int w): to(t), val(w) {}  // 构造函数
};

int main() {
int n, m, p1, p2, val;
cin >> n >> m;

vector<list<Edge>> grid(n + 1);

for(int i = 0; i < m; i++){
cin >> p1 >> p2 >> val; 
// p1 指向 p2，权值为 val
grid[p1].push_back(Edge(p2, val));

}

int start = 1;  // 起点
int end = n;    // 终点

// 存储从源点到每个节点的最短距离
std::vector<int> minDist(n + 1, INT_MAX);

// 记录顶点是否被访问过
std::vector<bool> visited(n + 1, false); 

// 优先队列中存放 pair<节点，源点到该节点的权值>
priority_queue<pair<int, int>, vector<pair<int, int>>, mycomparison> pq;


// 初始化队列，源点到源点的距离为0，所以初始为0
pq.push(pair<int, int>(start, 0)); 

minDist[start] = 0;  // 起始点到自身的距离为0

while (!pq.empty()) {
// 1. 第一步，选源点到哪个节点近且该节点未被访问过 （通过优先级队列来实现）
// <节点， 源点到该节点的距离>
pair<int, int> cur = pq.top(); pq.pop();

if (visited[cur.first]) continue;

// 2. 第二步，该最近节点被标记访问过
visited[cur.first] = true;

// 3. 第三步，更新非访问节点到源点的距离（即更新minDist数组）
for (Edge edge : grid[cur.first]) { // 遍历 cur指向的节点，cur指向的节点为 edge
// cur指向的节点edge.to，这条边的权值为 edge.val
if (!visited[edge.to] && minDist[cur.first] + edge.val < minDist[edge.to]) { // 更新minDist
minDist[edge.to] = minDist[cur.first] + edge.val;
pq.push(pair<int, int>(edge.to, minDist[edge.to]));
}
}

}

if (minDist[end] == INT_MAX) cout << -1 << endl; // 不能到达终点
else cout << minDist[end] << endl; // 到达终点最短路径
}

• 时间复杂度：O(ElogE) E 为边的数量
• 空间复杂度：O(N + E) N 为节点的数量

堆优化的时间复杂度 只和边的数量有关 和节点数无关，在 优先级队列中 放的也是边。

以上代码中，while (!pq.empty())​ 里套了 for (Edge edge : grid[cur.first])​

​for​ 里 遍历的是 当前节点 cur 所连接边。

那 当前节点cur 所连接的边 也是不固定的， 这就让大家分不清，这时间复杂度究竟是多少？

其实 for (Edge edge : grid[cur.first])​ 里最终的数据走向 是 给队列里添加边。

那么跳出局部代码，整个队列 一定是 所有边添加了一次，同时也弹出了一次。

所以边添加一次时间复杂度是 O(E)， while (!pq.empty())​ 里每次都要弹出一个边来进行操作，在优先级队列（小顶堆）中 弹出一个元素的时间复杂度是 O(logE) ，这是堆排序的时间复杂度。

（当然小顶堆里 是 添加元素的时候 排序，还是 取数元素的时候排序，这个无所谓，时间复杂度都是O(E)，总之是一定要排序的，而小顶堆里也不会滞留元素，有多少元素添加 一定就有多少元素弹出）

当然也有录友可能想 堆优化dijkstra 中 我为什么一定要用邻接表呢，我就用邻接矩阵 行不行 ？

也行的。

在学习一种优化思路的时候，首先就要知道为什么要优化，遇到了什么问题。

正如我在开篇就给大家交代清楚 堆优化方式的背景。

堆优化的整体思路和 朴素版是大体一样的，区别是 堆优化从边的角度出发且利用堆来排序。

很多录友别说写堆优化 就是看 堆优化的代码也看的很懵。

主要是因为两点：

• 不熟悉邻接表的表达方式
• 对dijkstra的实现思路还是不熟

这是我为什么 本篇花了大力气来讲解 图的存储，就是为了让大家彻底理解邻接表以及邻接表的代码写法。

至于 dijkstra的实现思路 ，朴素版 和 堆优化版本 都是 按照 dijkstra 三部曲来的。

理解了三部曲，dijkstra 的思路就是清晰的。

针对邻接表版本代码 我做了详细的 时间复杂度分析，也让录友们清楚，相对于 朴素版，时间都优化到哪了。

最后 我也给出了 邻接矩阵的版本代码，分析了这一版本的必要性以及时间复杂度。